p,qは整数とし、p>qとする。次の2つの方程式①, ②について考える。
5x³+px+q=0, …①
5x³+qx+p=0. …②
このとき、①, ②は共通の実数解αをもち、①, ②ともにα以外の解はすべて虚数解であるとする。①, ②の全ての解を求めよ。
⎰5x³+px+q=0 …①
⎱5x³+qx+p=0 …②
が共通の解をもつことより、ある1つの解をαとすると、
⎰5α³+px+q=0 …①'
⎱5α³+qx+p=0 …②'
①'ー②'より、
(pーq)αー(pーq)=0
(pーq)(αー1)=0
p>qより、p≠qであるから、両辺を(pーq)で割って、
α=1 …③
①'または②'に代入し、
5+p+q=0
q=ーpー5 …④
①にq=ーpー5を代入し、
5x³+pxーpー5=0
(xー1)を因数に持つから、
(xー1)(5x²+5x+p+5)=0 …①''
1以外の解は虚数解なので、5x²+5x+p+5の判別式をD₁とすると、
D₁=5²ー4・5(p+5)<0
5ー4pー20<0
p>-15/4 …⑤
②にq=ーpー5を代入し、
5x³(ーpー5)x+p=0
(xー1)を因数に持つから、
(xー1)(5x²+5xーp)=0 …②''
1以外の解は虚数解なので、5x²+5xーpの判別式をD₂とすると、
D₁=5²ー4・5(-p)<0
5+20p<0
p<-5/4 …⑥
⑤, ⑥より、
-15/4<p<-5/4
これを満たす整数pは、
p=ー3, ー2
④よりq=ーpー5であるから、
p=ー3のとき、q=ー2
p=ー2のとき、q=ー3
p>qより、
⎰p=ー2, q=ー3, …⑦
⎱α=1
⑦を①''に代入し、(または①に代入したのち(xー1)で割り、)
(xー1)(5x²+5x+3)=0
これが1と2つの虚数解をもつから、①の虚数解は、
5x²+5x+3=0
x=ー5±√5²ー4・5・3 /2・5
=ー5±√25ー60 /10
=ー5±√ー35 /10
=ー5±√35 i /10 …⑧
⑦を②''に代入し、(または②に代入したのち(xー1)で割り、)
(xー1)(5x²+5x+2)=0
これが1と2つの虚数解をもつから、②の虚数解は、
5x²+5x+2=0
x=ー5±√5²ー4・5・2 /2・5
=ー5±√25ー40 /10
=ー5±√ー15 /10
=ー5±√15 i /10 …⑨
よって、①, ②の全ての解は、③, ⑧, ⑨より、
①… x=1,ー5±√35 i /10
②… x=1,ー5±√15 i /10 …(答)