※あくまで僕の解釈です。あってるか知りません。
※別に知らなくても何の問題もないです。
教科書などには実数解（-b±√b²-4ac/2a）のルートの中が負になり計算できないからとか書かれていてごまかされている感があるし意味不明なので、今回は僕がグラフからしっかりと考察・解説したいと思います。
実数解の個数（x軸との共有点の個数）が2個か1個か0個かを判断するのが判別式(D)、b²-4acです。
D＞0で2個、D=0で1個、D＜0で0個です。
解の個数が2個か1個か0個かをグラフから判断するとき、頂点のy座標が0より大きいか同じか小さいかを見ても判断できます。
頂点のy座標は、y=ax²+bx+cを平方完成したものより、b²-4ac/-4aとなります。しかし、これだと計算がめんどくさいですよね？解の個数が2個か1個か0個かを判断するためだけに必要な情報をとってみましょう。
その前に、前提知識として、数直線上で「足す、引く」は移動を表し、「掛ける（割る）」は拡大、縮小、「負で掛ける（割る）」は反転を表します。割り算は掛け算でも表せます。
まず、b²-4ac/-4aに4aを掛けます。すると、-b²+4acとなります。方程式でない普通の式ではこのようなことをしてはなりませんが、ここでは、0より大きいか、同じか、小さいかだけを見るので、拡大、縮小することは0より大きいか、同じか、小さいかという結果に影響しません。0に限りなく近い数をさらに縮小しても、0にはなり得ません。
この状態だと、-b²+4ac＜0で実数解は2個、-b²+4ac=0で1個、-b²+4ac＞0で0個です。
さらに、-b²の-が邪魔なので-を掛けます。すると、b²-4acになります。このとき、負を掛けて反転されているので、大小関係も反転し、b²-4ac＞0で実数解は2個、b²-4ac=0で実数解は1個、b²-4ac＜0で実数解は0個です。これは、判別式(D)のb²-4ac＜0、b²-4ac=0、b²-4ac＜0のときと一致します。
言い忘れていましたが、aが負になってもこの関係は成り立ちます。
a＞0とします。aが負、上に凸のグラフになると、頂点のy座標＞0で実数解を2つ持ちます。aを負にしたものをa'とします。よって-4acは正になります(-4a'b)。少し話はそれますが、aが負になると、全く異なるグラフになります。平方完成をすれば分かると思います。-4a'bが正のとき、b²-4a'cが0より大きくなるか同じか小さいかは、すなわちb²が-(-4a'c)より大きいか同じか小さいかということになります。-(-4a'c)=4a'b、a'はaを負にしたものなので、4a'b=-4abです。戻ってきましたね。
僕天才じゃね？マジでこれ全部自分で考えた。すごいでしょ～（うざい人）
間違いがあったら教えてください。